EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

1. (Ufpr 2012)  Uma caixa contém 7 lápis azuis, 5 vermelhos e 9 amarelos. Sabendo que a caixa contém somente esses lápis, responda:

a) Qual o número mínimo de lápis que devemos retirar (sem olhar a cor) para que estejamos certos de haver retirado 4 lápis de uma mesma cor? Justifique sua resposta.

b) Se retirarmos ao acaso 3 lápis dessa caixa (sem olhar a cor), qual é a probabilidade de que todos sejam da cor amarela?

  

2. (Ita 2011)  Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de biologia e 2 de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos.

  

3. (Ufes 2010)  Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas

a) de modo arbitrário, sem restrições;

b) de modo que cada casal fique junto;

c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.

  

4. (Ufrj 2007)  Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana.

O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300?

  

5. (Ita 2006)  Determine o coeficiente de x⁴ no desenvolvimento de (1 + x + x²)⁹. 

Gabarito:  

Resposta da questão 1:
 a) Será necessário retirar, no mínimo, 10 lápis, pois pode ocorrer:

3 lápis azuis + 3 lápis vermelhos + 3 lápis amarelos.

Portanto, o próximo retirado garantirá 4 lápis de uma mesma cor.

b) Probabilidade de retirarmos três lápis da cor amarela:  (9/21).(8/20).(7/19)=6/95

   

Resposta da questão 2: 

P = (5!4!2!3!)/11! = 1/1155

   

Resposta da questão 3:
 a) A_8,6= 20160

b) C_5,2 . P₃ .2.2.2 = 10 . 6 . 8 = 480

c) Cadeiras que ficarão vazias: C_8,2 = 28

28.3!.3! .2 = 2016  

Resposta da questão 4:
 O número de maneiras de formarmos 3 equipes de 3 pessoas é dado por:

(C_9,3.C_6,3.C_3,3)/3! = 280

Logo, 280 < 300.  

Resposta da questão 5:
 414